Minggu, 23 Desember 2012

MATEMATIKA DASAR (FUNGSI NAIK TURUN DAN KECEKUNGAN GRAFIK)





MATEMATIKA DASAR
FUNGSI NAIK DAN TURUN, KECEKUNGAN GRAFIK

DisusunOleh :
Kelompok 4
1.     EkoRahayu               (4301412047)
2.     AnggunDwi A.          (4301412049)
3.     Nur Fatimah             (4301412057)
4.     CecilliaDevina A.      (4301412061)
5.     SidiqFauzi                 (4301412066)
6.     NurHamidah             (4301412069)


FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
 UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2012

FUNGSI NAIK DAN TURUN, KECEKUNGAN GRAFIK
Definisi :
Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1< x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .
Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1> x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .
            Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.
Skema :
 




x0-h      x1         x0         x2         x0+h
x0-h      x1         x0         x2         x0+h
Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Dalil :
Jika            Þ y = f (x) naik di x = x0
      Þ y = f (x) turun di x = x0
Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan
Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua
 Jika Þ Grafik f cekung ke atas

Þ Grafik f cekung ke bawah
Contoh :
Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsif
Jawab :
f (x)      = 2x4 – 4x2 + 3
f’ (x)    = 8x3 – 8x       
= 8x (x2 – 1)
f” (x)   = 24x2 – 8
Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0
f’ (x)    = 8x (x2 – 1) = 0         
= 8x (x+1) (x-1) = 0
            x1 = 0  ;  x2 = 1 ;  x3 = -1
            f(0) = 3  ;  f(1) = 1  ;  f(-1) = 1

         -1         0          1
f” (0)    = -8 < 0  maka (0, 3) cekungkebawah
f” (1)    = 16 > 0  maka (1, 1) cekungkeatas
f” (-1)   = 16> 0  maka (-1, 1) cekungkeatas

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Perhatikan grafik f (x) = x2 - 4x + 3 pada gambar di samping. Sumbu simetri grafik tersebut adalah x=2. Semua garis singgung kurva yang terletak di sebelah kiri sumbu simetri gradiennya negatif, sedangkan semua garis singgung kurva yang terletak di sebelah kanan gradiennya positif dan garis singgung kurva pada sumbu simetri gradiennya nol. Selanjutnya akan kita selidiki hubungan letak garis singgung kurva dengan nilai-nilai fungsi turunannya.
f (x) = x2 - 4x + 3
f (x) = 2x – 4
jika kita subtitusikan nilai-nilai x pada fungsi turunan tersebut, maka hasilnya dapat kita nyatakan dengan diagram seperti pada gambar berikut ini.
                                                                        f’ (x) = 0
                                                                       
                                                           
                                                f’(x) < 0(-1)                             f’(x) > 0 (+)
 

a.       Untuk x<2 f’(x)<0 dan fungsi f  dikatakan turun.
b.      Untuk x>2 f’(x)>0 dan fungsi f  dikatakan naik.
c.       Untuk x=2 f’(x)=0 dan fungsi f  dikatakan tidak  naik dan tidak turun, dan dikatakan pula bahwa f mempunyai nilai stasioner f(2) =-1

Berdasarkan penjelasan di atas maka:
a.       Fungsi f dikatakan naik jika f’(x) > 0
b.      Fungsi f dikatakan turun jika f’(x) < 0

Tentukan interfal dimana funsi f(x) = x3 + 3x2 – 9x +5
a.       Naik
b.      Turun
Jawab :
Terlebih dahulu kita turunkan turunan pertama fungsi f
      f(x) = x3 + 3x2 – 9x +5
      f’(x) = 3x2 + 6x – 9
              = 3 ( x2 + 2x – 3)
              = 3 (x + 3) (x – 1)
Perhatikan garis bilangan nilai-nilai f’(x)









 
                  +                                  -                       +


 



Berdasarkan garis bilangan tersebut, maka fungsi f :
a.       Naik pada interval x< -3 V x>1
b.      Turun pada interval -3 < x < 1

DEFINISI

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:
(i)                 Fadalah naik pada  I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I ,
X1 < X2      =>   f (x1) < f (x2)

(ii)               Fadalah turun pada  I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I ,
X1 < X2      =>   f (x1) > f (x2)

(iii)              F monoton murni pada I jika ia naik pada  I atau turun pada I.

HUBUNGAN ANTARA FUNGSI NAIK , TURUN DAN STASIONER DENGAN TURUNAN

Pada gambar berikut  l1 adalah garis lurus yang condong ke kanan atas dengan gradien m1 ; l2 adalah garis lurus yang condong ke kanan bawah dengan gradien m2 ; l3 adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dengan gradien m3 ; dan l4 adalah garis lurus yang tegak sejajarsumbu y dengan gradien m4 .
ILUSTRASI GAMBAR :

                                                         Y
                                                                          L2
                                    L1

                                                                                             X
                                                     0
                                    L3                                               l4



                                        Gambar 8.3
Y










 



0            a                          b                                            X

                                           Gambar 8.4

Perhatikan grafik fungsi  y = f(x) di samping , dan garis – garis singgung pada kurva . Diskusikan pada teman kalian kaitan antara kemiringan setiap garis singgung disamping dengan grafik fungsi (naik dan turun ; dan titik stasioner )
Amati lagi grafik fungsi y = f (x) diatas :
·         Perhatikan lintasan grafik fungsi y = f (x) yang naik yaitu pada interval 0 ≤ x < a atau x > b . Garis singgung grafik ini condong ke kanan atas , jadi gradiennya positif . Sebaliknya setiap garis singgung pada fungsi y = f (x) yang gradiennya positif (garis singgungnya condong ke kanan ) maka fungsi itu grafiknya naik .


Oval: Jadi fungsi y = f (x) naik jika dan hanya jika f ‘ (x) > 0
 




·         Perhatikan lintasan grafik fungsi y = f (x) yang turun , yaitu pada interval a < x < b . Garis singgung grafik ini condong ke kiri bawah , jadi gradiennya negatif . Sebaliknya setiap garis singgung pada fungsi y = f (x) yang gradiennya negatif (garis singgungnya condong ke bawah ) , maka fungsi ini grafiknya turun .


Oval: Jadi fungsi y = f (x) turun jika dan hanya jika f ‘ (x) < 0
 




·         Di titik stasioner garis singgungnya mendatar sejajar dengan sumbu – x , gradien garis singgung yang sejajar sumbu – x adalah nol . Sebaliknya setiap garis singgung yang gradiennya nol (sejajar sumbu – x )menyinggung grafik di titik stasioner .



Oval: Jadi fungsi y = f (x) stasioner jika dan hanya jika f ‘ (x) = 0
 



(SUMBER BUKU MATEMATIKA UNTUK KELAS XI OLEH ROCHMAD .MULYONO)


SOAL :

Tentukandimanagrafikdarifungsi yang diberikannaik, turun, cekungkeatas, dancekungkebawah.Kemudiansketsgrafiknya :
1.      f(x) = x3-3x-1
2.      g(x) = x3-2x2+x+1


1 komentar: